Question

【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表

组别	PM2.5浓度 （微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，25]	3	0.15
第二组	（25，50]	12	0.6
第三组	（50，75]	3	0.15
第四组	（75，100]	2	0.1

（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图． ①求图中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，

PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．

所以5天任取2天的情况有：

A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．

其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种

所以所求的概率P= =

（2）解：①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，

解得：a=0.004

②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．

因为42.5＞35，

所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进

【解析】（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1 ， A2 ， A3 ， PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1 ， B2 ， 求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得a值；②利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．
【考点精析】利用频率分布直方图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．