Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），

且f′（x）=1+ ﹣ =

设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，

①当△=a2﹣8＜0，即0＜a＜2 时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，

此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当△=a2﹣8=0，即a=2 时，仅对x= 有f′（x）=0，

对其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．

③当△=a2﹣8＞0，即a＞2 时，

g（x）=x2﹣ax+2=0有两个不同的实根 ， ，

由f′（x）＞0得，0＜x＜ 或x＞ ，

由f'（x）＜0得， ＜x＜ ，

此时f（x）在（0， ），（ ，+∞）上单调递增，

在（ ， ）是上单调递减

（2）解：解：f′（x）=1+ ﹣ = ，

依题意f'（x）≤0（等零的点是孤立的），即x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，

令g（x）=x2﹣ax+2，则有 ，解得a≥3，

故实数a的取值范围为[3，+∞）

【解析】（1）求f（x）的定义域和导数fˊ（x）= ，设g（x）=x2﹣ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据△的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）＞0和g（x）＜0确定的f（x）单调区间；（2）由条件确定f'（x）≤0，再转化为x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．