Question

【题目】已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

(1)求证：圆C1和圆C2相交；

(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 4x＋3y－23＝0，公共弦长为

【解析】试题分析; （1）分别求出圆 和圆 的圆心和半径，再求出圆心距 ，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆 和圆相交．
（2）两圆 和，两圆方程相减，得圆 和圆的公共弦所在直线方程；求出圆心 到公共弦所在直线的距离，由此能求出圆和圆的公共弦长．

试题解析;　(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，

半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，

两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，

|r1－r2|＝4－，

∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．

(2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，

得4x＋3y－23＝0，

∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.

圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离

d＝＝3，

故公共弦长为2＝2.