【题目】已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为：

0

1

2

n

其中（）满足： ，且．

定义由生成的函数，令．

（I）若由生成的函数，求的值；

（II）求证：随机变量的数学期望， 的方差；

（）

（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值．

参考答案：

【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)441.

【解析】试题分析：本题为新定义信息题，根据知： ，而，则 ；根据数学期望公式写出 ，由于，求出的表达式，根据方差公式写出 并推到证明；第三步写出的取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数 并求出的值.

试题解析：（I） ．

（II）由于，

，

所以．

由的方差定义可知

由于，所以有

，这样

，所以有

．

（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为：

．

投掷骰子两次次对应的生成函数为: ．

所以．

方法2： 的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．

则的分布列为

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

．

则

．

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