【题目】有下列命题：①边长为1的正四面体的内切球半径为；

②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为1：；

③棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球被平面A1BD截得的截面面积为．

其中正确命题的序号是______（请填所有正确命题的序号）；

参考答案：

【答案】①②③

【解析】

运用正四面体的性质和体积公式，结合等积法可得球的半径，可判断①；

由正方体与内切球、棱切球和外接球的关系，求得半径，可判断②；

求得正方体内切球半径，结合球的截面性质，以及勾股定理和等边三角形的性质，即可判断③．

①边长为1的正四面体的高为h，

可得正四面体的体积为Vh，

设内切球的半径为r，由等积法可得VrSr4，（S为正四面体的全面积）

解得r，故①正确；

②设边长为1的正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径

分别为r1，r2，r3，可得2r1＝1，2r2，2r3，

即有r1：r2：r3＝1：，故②正确；

③棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为，

设内心为I，可得A1I，I在截面的射影为等边三角形A1BD的中心O，

可得OI，

由球的截面的性质可得截面圆的半径为，可得截面圆的面积为，故③正确．

故答案为：①②③．

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