Question

【题目】设正项数列的前项和为，且满足：，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若正项等比数列满足，，且，数列的前项和为，若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n；（Ⅱ）[，+∞）．

【解析】

（Ⅰ）对递推关系再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进行求解即可；

（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.

（Ⅰ）因为，所以（n≥2），

两式相减得：an+12﹣an2＝4an+4，即an+12＝（an+2）2（n≥2），

又因为数列{an}的各项均为正数，所以an+1＝an+2（n≥2），

又因为a2＝4，16＝a12+4+4，可得a1＝2，

所以当n＝1时上式成立，即数列{an}是首项为2、公差为2的等差数列，

所以；

（Ⅱ）由（1）可知b1＝a1＝2，b3＝a4＝8，所以正项等比数列的公比为：，

因此bn＝；cn＝．

①

②

① —②得：

恒成立，等价于恒成立，

所以恒成立，

设kn＝，则kn+1﹣kn＝﹣＝，

所以当n≤4时kn+1＞kn，当n＞4时kn+1＜kn，

所以

所以当kn的最大值为k5＝，故m≥，

即实数m的取值范围是：[，+∞）．