Question

【题目】已知过点的椭圆： （）的左右焦点分别为、， 为椭圆上的任意一点，且， ， 成等差数列.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线： 交椭圆于， 两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或

【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据题意知x1=﹣2，y1=0；联立方程消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角， ＞0；由此列不等式求出k的取值范围．

试题解析：

（1）∵， ， 成等差数列，

∴，

由椭圆定义得，∴；

又椭圆： （）过点，

∴；∴，解得， ；

∴椭圆的标准方程为；

（2）设， ，联立方程，消去得：

；

依题意： 恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴， ，①

由方程的根与系数关系可得， ；②

可得；③

由①②③，解得， ；

由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；

由， ，

∴；即，

整理得， ，解得： 或.

∴实数的取值范围是或.