【题目】如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为

（1）若点在斜坐标系中的坐标为，求点到原点的距离.

（2）求以原点为圆心且半径为的圆在斜坐标系中的方程.

（3）在斜坐标系中，若直线交（2）中的圆于两点，则当为何值时，的面积取得最大值？并求此最大值.

参考答案：

【答案】（1）2；（2）；（3）时，取得最大值.

【解析】

（1）根据斜坐标的定义可知，通过平方运算求得，即为所求距离；（2）设坐标，可知；利用整理可得结果；（3）将与（2）中所求方程联立，利用韦达定理求得，又的高为，根据三角形面积公式构造出关于的函数，利用函数值域求解方法可求得所求最大值.

（1）由点的斜坐标为得：

，则

即点到原点的距离为

（2）设所求圆上的任意一点的斜坐标为，则

由圆的半径为得：，即

即所求圆的方程为：

（3）直线是平行于轴的直线

当时，直线与圆有两个交点，设为：，

联立与得：

，

的面积

当，即时，的面积取得最大值

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