Question

【题目】已知函数 ．

（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当， 时，对任意，有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】试题分析：（1）讨论、两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数恰有一个零点时实数的取值范围；（2）对任意，有成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果.

试题解析：（1）函数的定义域为．

当时， ，所以．

①当时， ，所以在上单调递增，

取，则，

（或：因为且时，所以．）

因为，所以，此时函数有一个零点．

②当时，令，解得．

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增．

要使函数有一个零点，则即．

综上所述，若函数恰有一个零点，则或．

（2）因为对任意，有成立，

因为，

所以．

因为，则．

所以，所以．

当时， ，当时， ，

所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，

因为与，所以．

设 ，

则．

所以在上单调递增，故，所以．

从而 ．

所以即，

设 ，则．

当时， ，所以在上单调递增．

又，所以，即为，解得．

因为，所以的取值范围为．