Question

【题目】.已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]时，求函数f(x)的最值.

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析:二次函数的对称轴是x＝1，分类讨论对称轴在区间左边,对称轴在区间右边以及对称轴在区间内三类讨论,按照函数的单调性求出最值,当对称轴在区间内时,再分成对称轴在区间中点左边和右边两类求最大值,最后写成分段函数的形式.

试题解析:

∵对称轴x＝1，

(1)当1≥t＋2，即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.

(2)当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

(3)当t≤1<，即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

(4)当1<t，即t>1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.

设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)时，则有

g(t)＝φ(t)＝

点睛:本题考查二次函数的最值问题,体现了分类讨论思想,属于中档题.由题意二次函数的开口向上,且对称轴为x＝1，故讨论对称轴与区间端点t和t+2的大小关系,当对称轴大于等于t+2时,函数单调递减;当对称轴小于t时,函数单调递增;当对称轴在区间内时,函数先减后增,在对称轴处取最小值,再比较1与两端点中点的大小,当1大于等于中点时,在x=t处取最大值, 当1小于中点时,在x=t+2处取最大值.