Question

【题目】已知函数f(x)＝ (a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值；

(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e2]上有两个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(1，e2－2].

【解析】试题分析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.由f′(x)＝0，

得x＝e1－a，可求得单调区间与极值。（2）由于f(x)=1在区间(0，e2]上有两上零点，所以要考虑x＝e1－a是否在区间(0，e2]上进行分类讨论。

试题解析：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.

令f′(x)＝0，得x＝e1－a，

当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，

所以函数f(x)的单调增区间为(0，e1－a)；单调减区间为(e1－a，＋∞)，f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值.

(Ⅱ)(ⅰ)当e1－a<e2，即a>－1时，由(Ⅰ)知f(x)在区间(0，e1－a)上是增函数，

在区间(e1－a，e2]上是减函数，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1.

又f(e－a)＝0，f(e2)＝，所以函数f(x)的图象与g(x)＝1的图象在(0，e2]上有两个公共点，等价于≤1＜ea－1，解得1＜a≤e2－2(满足a>－1)．

(ⅱ)当e1－a≥e2，即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，

所以函数f(x)的图象与函数g(x)的图象至多有一个公共点，故不满足题意．

综上，实数a的取值范围是(1，e2－2].