Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）函数是上的减函数 ；（2）见解析.

【解析】

（1）求出函数f（x）的定义域，并对函数f（x）求导，确定f′（x）的正负，即可确定函数f（x）在定义域上的单调性；（2）设a＞b＞0，分为两个不等式和．证明不等式时，转化为 ，换元t=>1，转化为 ，通过函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性来证明；证明不等式，转化为 ，换元x=>1，构造函数 ，通过函数g（x）在区间（1，+∞）的单调性来证明．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）,，所以，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；

（2）假设a＞b＞0．先证明不等式，即证，即证，令，则原不等式即为，其中t＞1，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当t＞1时，f（t）＜f（1）＝0，即

，即，所以，当a＞b＞0时，．

下面证明．即证，即，

令，即证，其中x＞1，构造函数，其中x＞1，，所以，函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以，g（x）＞g（1）＝0，所以，当x＞1时，，

所以，当a＞b＞0时，．

综上所述，当a＞0，b＞0时，．