Question

【题目】已知函数（且）的图象过点，.若函数在定义域内存在实数t，使得成立，则称函数具有性质M.

（1）求实数a的值；

（2）判断函数是否具有性质M？并说明理由；

（3）证明：函数具有性质M.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数不具有性质M，详见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）将点代入的解析式求解即可；

（2）由，可得对数方程，运用对数的性质判断方程的解，即可判断是否具有性质；

（3）由，求得方程的根或范围，结合新定义即可得证.

（1）由题意，函数的图象过点，

所以，解得；

（2）函数不具有性质M，证明如下：

函数的定义域为，

方程

，

而方程无解，

所以不存在实数使得成立，

所以函数不具有性质M；

（3）由（1）知，定义域为R，

方程

，

设，

，，

函数的图象连续，且，

所以函数在区间存在零点，

所以存在实数t使得成立，

所以函数具有性质M.