Question

【题目】已知函数在区间上有最大值3和最小值.

(1)求实数的值；

(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质求出的单调区间，求出函数的最大值和最小值，得到关于的方程组，解出即可；（2）问题转化为 ，令，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即.

试题解析：(1)∵的对称轴是，又∵.

∴在上单调递减，在上单调递增；

∴当时， 取最小值，当时， 取最大值3；

即，解得.

(2)∵，

∴，

∴，∴，

令，则在上是增函数，

故，

∴在上恒成立时， .

【方法点晴】本题主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的范围的.