Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．

(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝ (x>0)．当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.

(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0<x1<x2.

由>a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，

令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln x－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

则g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－.

故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为.