Question

【题目】已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；

（2）设点A，B，将直线l 的方程代入，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值

试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，

解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求椭圆C的方程为+x2=1．

（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，

并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）

则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以=0，即x1x2+y1y2=0．

又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，

于是﹣﹣+3=0，解得k=±，

经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．

所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．