Question

【题目】已知函数．

（1）对于实数，，若，有，求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若，函数，求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）若存在实数，使得对于任意实数，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）见解析，（3）

【解析】

（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；

（2）化简函数，数形结合求函数的最值；

（3）令，,结合二次函数的图像与性质可得结果.

（1），

∴

整理得：

∴

∵x1，x2∈R，x1＜x2，

∴△＞0，

故方程有两个不相等的实数根．

（2）,

作出其函数图象为：

当时，在上单调递增，

∴，；

令，又，∴，

∴当时，，；

当时，，；

综上：当或时，，；

当时，，；

（3）由题意可得，

令，

∴，

∴对称轴 ，

∴，

记

，

∴，

求根公式得：

∴

∴即，

故实数的取值范围