Question

【题目】已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．
（1）求证： ；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．

∴ =（1，1）， =（﹣3，3）．

又∵ =1×（﹣3）+1×3=0，

∴ ．

（2）解：∵ ，若四边形ABCD为矩形，则 ．

设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），

∴

即

∴点C的坐标为（0，5）．

由于 =（﹣2，4）， =（﹣4，2），

∴ =（﹣2）×（﹣4）+4×2=16， =2 ．

设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ= = ＞0．

故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为 ．

【解析】（1）运用平面向量的数量积得出 =1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（2） ． ，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ= = ＞0．