Question

【题目】设二次函数f(x)＝ax2＋bx.

(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；

(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).

【解析】

(1)用和表示 ，再根据不等式的性质求得.

(2)对进行参变分离，根据 和求得.

解 (1)方法一　

∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.

方法二　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，

下同方法一．

(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，

即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；

当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；

当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，

而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；

当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，

而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，

∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．