Question

【题目】已知函数f（x）=2|x+1|+|2x﹣a|（x∈R）．
（1）当a＞﹣2时，函数f（x）的最小值为4，求实数a的值；
（2）若对于任意，x∈[﹣1，4]，不等式f（x）≥3x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：将函数分段为： ，

∴当且仅当 时，f（x）min=a+2，

由题意得a+2=4，即a=2

（2）解：当x∈[﹣1，4]时f（x）≥3x恒成立|2x﹣a|≥x﹣2恒成立，

若﹣1≤x＜2，不等式恒成立，此时a∈R；

若2≤x≤4，|2x﹣a|≥x﹣22x﹣a≥x﹣2或2x﹣a≤（x﹣2），

即a≤x+2或a≥3x﹣2在x∈[2，4]恒成立，所以a≤4或a≥10，

综上知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，4]∪[10，+∞）

【解析】（1）求出函数的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可；（2）问题等价于|2x﹣a|≥x﹣2恒成立，通过讨论x的范围，求出a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．