Question

【题目】已知椭圆为参数）, 是上的动点，且满足为坐标原点)，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点的极坐标为.

（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；

（2）利用椭圆的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】试题分析：（1）将的极坐标转化为平面直角坐标，由椭圆的参数方程，可设点的坐标，利用中点坐标得出点坐标，消去参数可得轨迹的普通方程；（2）将椭圆的普通方程化为极坐标方程，可设两点的极坐标，由题中所给，可得结论．

试题解析：（1）点的直角坐标为，由题意可设点的坐标为参数，

则线段的中点的坐标为，

所以点的轨迹的参数方程为为参数）

消去可得的普通方程为.

（2）椭圆的普通方程为，化为极坐标方程得，

变形得，

由，不妨设，所以

（定值），

易知当时， 取得最大值.