Question

【题目】已知关于x的方程x2－2mx＋4m2－6＝0的两不等根为α，β，试求(α－1)2＋(β－1)2的最值.

Answer 1

【答案】最大值为15，无最小值.

【解析】试题分析:根据一元二次方程写出韦达定理,将原式化简为两根和与乘积的形式代入,化简为关于m的二次函数,由Δ>0求出m的取值范围,即函数的定义域,根据二次函数的图象和性质求出最值.

试题解析:

由题可知α＋β＝2m，αβ＝4m2－6，

∴(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2

＝4m2－2(4m2－6)－2·2m＋2＝－4m2－4m＋14＝－4(m＋)2＋15.

∵Δ＝(－2m)2－4(4m2－6)＝－12m2＋24>0，∴当m＝－时满足Δ>0.∴原式的最大值为15，无最小值.

点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系.设一元二次方程的两根为, ,当时,方程有两个等根,当时,方程无根, 当时,方程有两个不相等的实数根,且根据韦达定理有,或者根据求根公式可得.