Question

【题目】已知椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；

（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：(1)由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为的等腰直角三角形,求出,可得椭圆方程;(2)设，则的方程为：,由得点坐标,可证明．(3) 设，由得 ,又点在椭圆上得：,从而化简可得的轨迹方程.

试题解析：

解：（1）由条件可得，

椭圆的方程为．

（2）设，则的方程为：，

由得：

所以

．

（3）设，由得 ①

又点在椭圆上得： ②

联立①②可得 ， ③

由得，

即

可得，

将③代入得：

化简得点轨迹方程为：．

点睛:本题考查圆锥曲线的标准方程,曲线与方程,直线与椭圆的位置关系以及定值问题,属于中档题目.证明定值问题,先设出点坐标,根据求出直线的方程,再根据点在上求出坐标, 证明为定值,利用两点间距离公式代入坐标,根据点在曲线上两元换一元,分子分母成倍数关系,即为定值.