Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是边长为8的菱形，，是等边三角形，二面角的余弦值为.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）通过几何关系得到平面进而得到异面直线垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.

（Ⅰ）连接交于点O.

因为四边形是菱形，所以，且和互相平分.

又因为，O为的中点，所以，

又因为，所以平面.

因为平面，所以.

（Ⅱ）过点作交点为，因为平面，所以，

因为，所以平面.

易知为二面角的平面角，所以，.

又因为，所以和都是边长为8的等边三角形.

所以，则，.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，则，

即，则.

所以，

所以直线与平面夹角的正弦值为.