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【题目】已知函数
.
若
在其定义域上单调递减，求
的取值范围；
若存在两个不同极值点
与
，且
，求证
.
参考答案：
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
先对函数求导，由
在其定义域上单调递减，得到
恒成立，即
恒成立，用导数的方法求出
的最小值即可；
（2）若
存在两个不同极值点
与
，且
，欲证：
，只需证：
，即证
，再根据
，
得到
，
，再令
，得到
，设
，由导数方法研究其单调性即可得出结论.
解：（1）由于的定义域为
，且
，若在其定义域上单调递减，则
恒成立，即恒成立.
令
，
则随着
的变化，与
的变化如下表所示
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| ↘ | 极小值 | ↗ |
所以
.
所以
（2）若存在两个不同极值点与，且，
欲证：.
只需证：.
只需证：
.
只需证：.
因为，，，，
所以
，
所以
令，则
，则，
设，则
，
可知函数
在
上单调递增
所以
.
所以成立.
-
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查看答案和解析>>【题目】为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：
男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.
（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数
（单位：厘米），将男、女生身高不低于和低于的人数填入下表中，并判断是否有
的把握认为男、女生身高有差异？人数
男生
女生
身高
身高
参照公式：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
.024
6.635
7.879
10.828
（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.
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查看答案和解析>>【题目】如图1，在边长为3的菱形
中，已知
，且
.将梯形
沿直线
折起，使
平面
，如图2，
分别是
上的点.
（1）若平面
平面
，求
的长；（2）是否存在点
，使直线
与平面
所成的角是
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由. -
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查看答案和解析>>【题目】已知椭圆
经过点
，且离心率为
.（1）求椭圆
的方程；（2）若点
、
在椭圆上，且四边形
是矩形，求矩形的面积
的最大值. -
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查看答案和解析>>【题目】某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为
公里，实线PQST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
（1）求观光长廊PQST所在的曲线的方程；
（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置?
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查看答案和解析>>【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
是边长为8的菱形，
，
是等边三角形，二面角
的余弦值为
.
（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求直线
与平面
夹角的正弦值. -
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查看答案和解析>>【题目】平面直角坐标系xOy中，抛物线
的焦点为F，过F的动直线l交
于M、N两点.（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求
的方程；（2）若
，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求
的取值范围.
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