Question

【题目】在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线：，，，，为曲线上不同的四点.

（Ⅰ）求实数的值及的最小覆盖圆的方程；

（Ⅱ）求四边形的最小覆盖圆的方程；

（Ⅲ）求曲线的最小覆盖圆的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意，,利用三角形的外接圆即最小覆盖圆可得结果；

（Ⅱ）的最小覆盖圆就是以为直径的圆，易知A,C均在圆内；

（Ⅲ）由题意，曲线为中心对称图形. 设，转求的最大值即可.

解：（Ⅰ）由题意，.

由于为锐角三角形，外接圆就是的最小覆盖圆.

设外接圆方程为,

则, 解得.

所以 的最小覆盖圆的方程为 .

(II) 因为的最小覆盖圆就是以为直径的圆，

所以的最小覆盖圆的方程为.

又因为，所以点A,C都在圆内.

所以四边形的最小覆盖圆的方程为.

(III)由题意，曲线为中心对称图形.

设，则.

所以，且.

故 ，

所以 当时，，

所以曲线的最小覆盖圆的方程为.