Question

【题目】设m个正数a1 ， a2 ， …，am（m≥4，m∈N*）依次围成一个圆圈．其中a1 ， a2 ， a3 ， …ak﹣1 ， ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是公比为2的等比数列．
（1）若a1=d=2，k=8，求数列a1 ， a2 ， …，am的所有项的和Sm；
（2）若a1=d=2，m＜2015，求m的最大值；
（3）是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意ak=16，故数列a1，a2，…，am即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，

此时m=10，Sm=84

（2）解：由数列{an}满足a1=d=2，是首项为2、公差为2的等差数列知，ak=2k，

而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是首项为2、公比为2的等比数列知， ，

故有2k=2m+2﹣k，k=2m+1﹣k，即k必是2的整数次幂，

由k2k=2m+1知，要使m最大，k必须最大，

又k＜m＜2015，故k的最大值210，

从而21021024=2m+1，m的最大值是1033

（3）解：由数列{an}是公差为d的等差数列知，ak=a1+（k﹣1）d，

而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列 ，

故a1+（k﹣1）d= ，

又a1+a2+…ak﹣1+ak=3（ak+ak+1+…+am﹣1+am），am=2a1

则 ，即 ，

则 ，即k2m+1﹣k+k=6×2m+1﹣k﹣12，

显然k≠6，则

所以k＜6，将k=1，2，3，4，5一一代入验证知，

当k=4时，上式右端为8，等式成立，此时m=6，

综上可得：当且仅当m=6时，存在k=4满足等式

【解析】（1）依题意ak=16，故数列a1 ， a2 ， …，am即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，即可得出．（2）由数列{an}满足a1=d=2，利用等差数列的通项公式可得ak=2k．而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是首项为2、公比为2的等比数列知， ．故有2k=2m+2﹣k ， k=2m+1﹣k ， 即k必是2的整数次幂，由k2k=2m+1知，要使m最大，k必须最大，又k＜m＜2015，故k的最大值210 ， 即可得出．（3）由数列{an}是公差为d的等差数列知，ak=a1+（k﹣1）d，而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是公比为2的等比数列 ，a1+（k﹣1）d= ， ，又a1+a2+…ak﹣1+ak=3（ak+ak+1+…+am﹣1+am），am=2a1 ， 显然k≠6，则 ，所以k＜6，代入验证即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．