Question

【题目】已知点是椭圆： 上的一点，椭圆的右焦点为，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线， 的斜率之和为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的定义可求得，然后可得，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，将此方程代入椭圆方程可得整理得，设， ，由根与系数的关系可得， ，然后由斜率公式可得，即可得到结论。

试题解析：

（1）由题意得椭圆的左焦点为。

由椭圆定义可得

，

解得，

∴，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，

又， ， 三点不重合，故。

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于、两点，

∴，

解得

设， ，

则，① ，②

设直线， 的斜率分别为， ，

则 （），

分别将①②式代入（），得

，

所以，

即直线， 的斜率之和为定值．