Question

【题目】在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于， 两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：

（1）以为直径的圆能否经过点？说明理由；

（2）过， ， 三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）不经过点；（2）定值为.

【解析】试题分析：（1）在方程中，令可得点, 的坐标，验证AC的斜率与BC的斜率之积是否为-1即可；（2）设过A，B，C三点的圆的方程为，将点三点坐标代入方程，并结合，可得，进一步得，故圆的方程为，令y=0可解得，因此圆在y轴上截得的弦长是定值为4.。

试题解析：

（1）以为直径的圆不经过点C，理由如下：

设二次函数的图象与x轴交于A，B两点，设，

在方程中，令，得，

则是方程的两根，

∴

又C的坐标为（0，1），

故AC的斜率与BC的斜率之积为

所以直线AC,BC不垂直，

因此以为直径的圆不经过点C.

（2）设过A，B，Cspan>三点的圆的方程为，

∵点在圆上，

∴

，

由（1）

，

∴，

圆的方程为，

令，得

解得，

∴圆在y轴上截得的弦长是定值为4.