Question

【题目】已知圆： 和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点， 在曲线上，若直线， 的斜率分别是， ，满足，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）分析条件可得圆心满足条件>，从而可得曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程，进一步可得

，由可求得，从而，从而

可得 ，从而可得三角形面积的最大值。

试题解析：

（1）由题意得圆的圆心为，半径为，

点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切。

设动圆半径为，则 .

因为动圆经过点，所以, >,

所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆.

设椭圆的方程为

则，

∴,

∴曲线的方程为．

（2）当直线的斜率为0时，不合题意；

设直线的方程为，

由消去x整理得，

设，

则，

由条件得点A坐标为（1,0），

∵，

∴

=.且，

∴，

解得，

故直线BC过定点（2，0），

由，解得，

∴ ，当且仅当时取等号。

综上面积的最大值为.