Question

【题目】在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0． （Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0 ∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为 （t为参数）
将 ，代入x2+y2﹣6x+1=0整理得t2﹣8tcosα+8=0
∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣32≥0即 或
∵α∈[0，π）∴α的取值范围是
（Ⅱ）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8
其参数方程为 （θ为参数）
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴
∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．
【解析】（Ⅰ）由直线l经过点P（﹣1，0），且倾斜角为α，可得直线l的参数方程，利用互化公式可得C的直角坐标方程．由直线l与曲线C有公共点，可得△=64cos2α﹣32≥0，解出即可得出的取值范围； （Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，利用参数方程为 （θ为参数），结合三角函数知识求x+y的取值范围．