Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=± ，
可设A（﹣c， ），C（x，y），
由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，
可得 =2 ，
即有（2c，﹣ ）=2（x﹣c，y），
即2c=2x﹣2c，﹣ =2y，
可得x=2c，y=﹣ ，
代入椭圆方程可得， + =1，
由e= ，b2=a2﹣c2 ，
即有4e2+ ﹣ e2=1，
解得e= ．
故选：A．
设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设x=﹣c，代入椭圆方程，求得A的坐标，设出C（x，y），由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，可得 =2 ，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．