Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣1﹣ax（a＞1）在[0，a]上的最小值为f（x0），且x0＜2，则实数a的取值范围是（ ）
A.（1，2）
B.（1，e）
C.（2，e）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）=ex﹣1﹣ax（a＞1），
∴f′（x）=ex﹣1﹣a，
令f′（x）=0，解得x=1+lna＞1，
令g（a）=a﹣1﹣lna，其中a＞1，则g′（a）=1﹣ = ，
∴g（a） 在（1，+∞）上递增，
又g（1）=1﹣1﹣ln1=0，
∴当a＞1时，g（a）=a﹣1﹣lna＞0，
即a＞1+lna，
∴当0＜x＜1+lna时，f′（x）＜0，
1+lna＜x＜a时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1+lna处取得最小值，
由x0=1+lna＜2，得a＜e，
∴实数a的取值范围是（1，e）．
故选：B．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．