Question

【题目】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；

（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定点，证明过程见解析

【解析】

（1）由椭圆上的点到左焦点的距离的最大值即和离心率，求出和，再求出，即可求出椭圆标准方程；

（2）设直线方程，代入椭圆方程，并利用韦达定理求出和，设中点为,将转化为，表示出，即可得到的范围；

（3）求出点坐标，再设点，由C、B、N三点共线得到，利用向量平行的坐标形式表示出，再利用（2）中的韦达定理化简即可得到定点的坐标.

（1）由题意，椭圆焦点在轴上，设椭圆方程，

则椭圆上的点到左焦点的距离的最大值即，

又，解得，，所以，

所以椭圆标准方程为：.

（2）由题意，点，

因为点在线段上，所以，

设过点的直线方程为，

代入椭圆方程并整理得，，

设点，点，则，，

，

设中点，

由，可得，

所以，即，

，

整理得，，

所以的取值范围为.

（3）由（2）知，点和点关于轴对称，所以，

设点，则，，

当C、B、N三点共线时，即，

所以，

整理得，，

由（2）知，，，，

所以，

所以定点.