Question

【题目】已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 ，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．
（Ⅰ）求线段OQ的长；
（Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 得 ，所以n=2，故抛物线方程为y2=2x，P（2，2）
所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为 ，则 .
故曲线C在点P处的切线斜率 ，切线方程为：
令y=0得x=﹣2，所以点Q（﹣2，0）
故线段OQ=2
（Ⅱ）由题意知l1：x=﹣2，因为l2与l1相交，所以m≠0
设l2：x=my+b，令x=﹣2，得 ，故
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 消去x得：y2﹣2my﹣2b=0
则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b
直线PA的斜率为 ，
同理直线PB的斜率为 ，直线PE的斜率为
因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列
所以 + =2
即
因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2
所以2m﹣b+2=2m，即b=2
故l2：x=my+2，即l2恒过定点（2，0）
【解析】（Ⅰ）求出抛物线方程，曲线C在点P处的切线方程，得出Q的坐标，即可求线段OQ的长；（Ⅱ）求出直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，直线PE的斜率为 ，因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，得出2m﹣b+2=2m，即b=2，即可得出结论．