Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0 ， h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若 ＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵ ，
∴
∵a＞2，∴ ，
令f′（x）＞0，即 ，
∵x＞0，∴0＜x＜1或 ，
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），
（Ⅱ）解法一：当a=4时，
所以在点P处的切线方程为
若函数 存在“类对称点”P（x0 ， f（x0）），
则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），
当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．
① 当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，
等价于 恒成立，
即当0＜x＜x0时， 恒成立，
令 ，则φ（x0）=0，…（7分）
要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．
又∵ ，
∴ ，即 ．
②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时， ．
∴ ．
所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ．
（Ⅱ）解法二：
猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ．
下面加以证明：
当 时，
① 当 时，f（x）＜g（x）恒成立，
等价于 恒成立，
令
∵ ，∴函数φ（x）在 上单调递增，
从而当 时， 恒成立，
即当 时，f（x）＜g（x）恒成立．
②同理当 时，f（x）＞g（x）恒成立．
综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；
法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ，然后加以证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．