Question

【题目】在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，。

（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；

（ⅱ）求数列的通项公式。

（Ⅱ）设数列的前项和为，证明：，。

Answer 1

【答案】（1）紧扣等差数列定义证明，（2）当为偶数时，当为奇数时。（3）证明见解析。

【解析】

试题分析：要证明数列为等差数列，只需证明成立，由于数列首项为正，

数列为单调递增，说以，由成等差数列，得……（1），由因为，成等比数列，则，于是代入（1）式整理得：得证；先求，备用，由于数列为等差数列，可借助等差数列通项公式求出，再由求出，最后分为奇数和偶数两种情况表达，由于数列的通项公式分为奇数和偶数两种情况表达的，所以需要合在一起，合成公式是

，合成后对进行放缩，这里技巧很重要，

，再求，最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的；

试题解析：（ⅰ）因为数列为单调递增数列，，所以()。由题意成等差数列，成等比数列，．得,，于是，化简得，所以数列为等差数列。

（ⅱ）又，，所以数列的首项为，公差为，所以，从而。结合可得。因此，当为偶数时，当为奇数时。

（2）所以数列的通项公式为：

。因，所以；则有，所以，。