Question

【题目】已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA= acosC．
（1）求角C；
（2）若c= ，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，由正弦定理可得sinCsinA= sinAcosC，

sinA≠0，

∴ ，

得 ，

∵C∈（0，π），

∴ ．

（2）解：∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），

∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，

∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，

∵△ABC为斜三角形，

∴cosA≠0，

∴sinB=5sinA，

由正弦定理可知b=5a （1）

由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴ ，（2）

由（1）（2）解得a=5，b=1，

∴

【解析】（1）由 ，利用正弦定理可得sinCsinA= sinAcosC，于是 ，即可得出；（2）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．