Question

【题目】已知椭圆短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，直线与抛物线交于两点，且，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）先写出一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是，即，利用圆心到直线距离等于半径，列方程求解即可；

（2）抛物线的焦点在轴的正半轴上，故，故，抛物线的方程为，由，可得，设点，则， 代入求出关于的表达式，利用判别式大于0的范围，求值域即可.

试题解析：

(1) 设椭圆的焦距为，则由条件可得，连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是，即，由直线与圆相切可得，故，则，故椭圆的方程为.

(2) 抛物线的焦点在轴的正半轴上，故，故，抛物线的方程为，由，可得，由直线与抛物线有两个不同交点可得

在时恒成立，设点，则，则，又点到直线的距离为，故的面积为.令，则，令，可得或，故在上单调递增，在上单调递减，故时， 取最大值，则的面积取最大值为.