Question

【题目】如图，设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 点D在椭圆上，DF1⊥F1F2 ， =2 ，△DF1F2的面积为 ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2 ， 由 =2 ，得|DF1|= = c，
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ，故c=1．
从而|DF1|= ，由DF1⊥F1F2 ， 得 = + = ，
因此|DF2|= ，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故a= ，b2=a2﹣c2=1，
因此，所求椭圆的标准方程为 +y2=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是两个交点，

y1＞0，y2＞0，F1P1 ， F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2 ， 由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1 ， y1=y2 ， |P1P2|=2|x1|，
由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2 ， 得﹣ + =0，
由椭圆方程得1﹣ = ，即3 +4x1=0，解得x1=﹣ 或x1=0．
当x1=0时，P1 ， P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣ 时，过P1 ， P2 ， 分别与F1P1 ， F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）
由F1P1 ， F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1 ， 得 =﹣1，而|y1|=|x1+1|= ，
故y0= ，
故圆C的半径|CP1|= = ．
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+ =
【解析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|= = ，|DF2|= ，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1 ， y1=y2 ， |P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2 ， 得x1=﹣ 或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得的方程．