Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，求证：

（1）平面 ；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可证得OE∥PA，利用线面平行的判断定理可得PA∥平面EDB．

（2）由线面垂直的定义可得PD⊥AD，且AD⊥CD，据此可知AD⊥平面PCD，故AD⊥PC．

（1）连接AC交BD于O，连接OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，

∵在△PAC中，E是PC的中点，

∴OE∥PA，

∵OE平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB．

（2）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD底面ABCD，

∴PD⊥AD，

∵底面ABCD是正方形，

∴AD⊥CD，

又PD∩CD=D，

∴AD⊥平面PCD．

∴AD⊥PC．