Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，若对， ，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的定义域为，求导数，若，若，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知， 在上单调递增，从而， 等价于， ，令，通过函数的导数求解函数的最值，推出结果.

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为，求导数，得.若，则，此时在上单调递增，若，则由，得.当时， ；但时， ，此时在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知， 在上单调递增，∴.

从而， 等价于， ①，令，则，因此，①等价于在上单调递减，∴对恒成立，∴对恒成立，∴.又，当且仅当，即时，等号成立，∴，故的取值范围为.