Question

【题目】已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝。现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体ABCD，如图所示．

(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．

(2)当四面体ABCD的体积最大时，求二面角ACDB的余弦值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.

即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1。

若AD⊥BC，因为AD⊥AB，

所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.

即AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，

所以a2＝－1，无解．

故AD⊥BC不成立．

(2)要使四面体ABCD的体积最大，因为△BCD的面积为定值，

所以只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时平面ABD⊥平面BCD，

过点A作AO⊥BD于点O，

则AO⊥平面BCD，

以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，

则易知A，C(，，0)，D，

显然，平面BCD的一个法向量为＝。

设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．

因为＝，＝，

所以令y＝，得n＝(1，，2)．

故二面角ACDB的余弦值为|cos〈，n〉|＝＝。