Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|（x∈R）
（1）证明：函数f（x）是偶函数；
（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象，并写出函数的值域；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+2，观察图象写出不等式f（x）＞x+2的解集．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（﹣x）=|﹣x﹣1|+|﹣x+1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x）

∴f（x）是偶函数

（2）解：原函数式可化为：

；其图象如图所示，

由函数图象知，函数的值域为[2，+∞）

（3）解：由函数图象知，

当x=0或2时，f（x）=x+2．

结合图象可得，不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}

【解析】（1）根据函数的解析式，我们判断f（﹣x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得函数的奇偶性，（2）先将带绝对值的函数转化成分段函数的形式，进而结合分段函数的图象和性质及偶函数图象关于y轴对称，可得函数简图；（3）根据（2）中函数简图，数形结合可在同一坐标系中画出直线y=x+2，观察图象写出不等式f（x）＞x+2的解集．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．