Question

【题目】设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．

（Ⅰ）若对x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：a＋b≥2ab．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M＝1 （Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ） 恒成立，采用变量分离，转化为，利用绝对值三角不等式得解（Ⅱ）利用重要不等式a2＋b2≥2ab得出ab≤1，再用得解

试题解析：（Ⅰ）解： 恒成立

∵，

当且仅当，即时取等号，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）证明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴．（当且仅当“a＝b”时取等号）①

又∵，∴．

∴，（当且仅当“a＝b”时取等号）②

由①、②得．（当且仅当“a＝b”时取等号）

∴a＋b≥2ab．