Question

【题目】如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分别是SC，BC的中点．

（1）证明：SD⊥AF；
（2）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为F为BC的中点，所以AF⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为SA⊥平面ACDB，AE平面ABCD，所以SA⊥AF．

而SA平面SAD，AD平面SAD且SA∩AD=A，

所以AF⊥平面PAD．又SD平面SAD，

所以AF⊥SD．

（2）解：由（1）知AF，AD，AS两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为SC，BC的中点，所以 ， ，

所以 ．

设平面AEF的一法向量为 ，

则 因此

取Z1=﹣1，则 ，

因为BD⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，

所以BD⊥平面AEC，

故 为平面AEC的一法向量，且 ，

所以 ，

由于二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）证明AF⊥BC．SA⊥AF．推出AF⊥平面PAD．然后利用直线与平面垂直的性质定理证明AF⊥SD．（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一法向量，平面AEC的一法向量，通过斜率的数量积求解二面角的余弦值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．