Question

【题目】已知函数f（x）=4x+a2x+3，a∈R．
（1）当a=﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有两个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣4时，令t=2x，

由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1

当t=2时，ymin=﹣1；当t=4时，ymax=3．

∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]

（2）解：令t=2x，由x＞0知t＞1，且函数t=2x在（0，+∞）单调递增．

∴原问题转化为方程t2+at+3=0在（1，+∞）上有两个不等实根，求a的取值范围．

设g（t）=t2+at+3，则 ，即 ，解得 ．

∴实数a的取值范围是

【解析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；（2）令t=2x ， 由x的范围得到t的范围，则问题转化为方程t2+at+3=0在（1，+∞）上有两个不等实根，求a的取值范围．然后结合该二次方程对应的二次函数图象与t轴的交点列不等式组求解a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数在闭区间上的最值的相关知识，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，，以及对函数的零点与方程根的关系的理解，了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．