Question

【题目】定义在R上的函数f（x）=ax2+x．

（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；

（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（II）-≤a≤-（Ⅲ）m=n=0或者m=-4，n=0

【解析】

（Ⅰ）作差比较；

（Ⅱ）分离变量后再将恒成立转化为最值；

（Ⅲ）根据两个整数的和与积都为偶数，得这两个整数均为偶数．

解：（Ⅰ）证明：∵[f（x1）+f（x2）]-f（）

=（ax12+x1+ax22+x2）-a（）2-

=，

∵a＞0，∴[f（x1）+f（x2）]-f（）≥0，

∴[f（x1）+f（x2）]≥f（）．

（Ⅱ）当x=0时，|f（x）|≤1显然成立，此时a∈R；

当x∈（0，2]时，|f（x）|≤1-1≤ax2+x≤1≤a≤

-（）2-≤a≤（）2-恒成立，

∵x∈（0，2]，∴-（）2-有最大值-，（）2-有最小值-，

∴-≤a≤-．

（Ⅲ）∵a=，∴f（x）=x2+x，

∵P（m，n2）在函数f（x）的图象上，∴m2+m=n2，

变形得（m+2）2-4n2=4，

∴（m+2-2n）（m+2+2n）=4，且m∈Z，n∈Z，

∵（m+2-2n）+（m+2+2n）=2m+4为偶数，

∴m+2-2n与m+2+2n同为偶数，

∴或

解得：或

故答案为：m=n=0或者m=-4，n=0．