Question

【题目】已知函数f（x）=，其中c为常数，且函数f（x）的图象过原点．

（1）求c的值，并求证：f（）+f（x）=1；

（2）判断函数f（x）在（-1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】（1）c=0 ，见证明；(2)见证明；

【解析】

（1）根据图像过原点可得c值，对f（）+f（x）进行化简即可得到证明；（2）由函数单调性的定义利用作差法即可得到证明.

（1）函数f（x）图象过原点；

∴f（0）=-c=0；

∴c=0；

∴；

∴；

∴；

（2）；

函数f（x）在（-1，+∞）上是单调递增函数，证明如下：

任取x1，x2∈（-1，+∞），且x1＜x2，则：

；

∵x1，x2∈（-1，+∞），且x1＜x2；

∴x1-x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴函数f（x）在（-1，+∞）上是单调递增函数．