Question

【题目】已知函数.

（1）求证：函数有唯一零点；

（2）若对任意，恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出 ，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（2））设的零点为，即. 原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求.

试题解析：（1） ，

易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，

因此，即在区间上恰有一个零点，

由题可知在上恒成立，即在上无零点，

则在上存在唯一零点.

（2）设的零点为，即. 原不等式可化为，

令，则，由（1）可知在上单调递减，

在上单调递增，故只求，，设，

下面分析，设，则，

可得，即

若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能.

因此，即求所求.